一个数字n,它的二进制位数一定是log2n向下取整+1;
这段代码实现了快速幂算法(Exponentiation by squaring),用来计算 ( an ) 的值,其中 ( a ) 和 ( n ) 都是整数。
int quickpow(int a, int n)
{
int res = 1; // 初始化结果为1,因为任何数的0次幂都是1
while (n) { // 当指数n不为0时,继续执行循环
if (n & 1) // 如果n的最低位为1(即n是奇数)
res = res * a; // 将当前底数a乘到结果中
a = a * a; // 将底数a平方,相当于底数翻倍,指数减半
n >>= 1; // 将指数n右移一位,相当于将指数减半
}
return res; // 返回计算结果
}
现在逐句解析每一行代码的作用:
int res = 1;
res
为1,这是最终结果的初始值。任何数的0次幂都是1。while (n) {
n
不为0时继续执行。循环将持续执行直到 n
变为0。if (n & 1)
n
是否为奇数,使用位运算 n & 1
来判断。如果 n
的最低位(即最右边的二进制位)为1,则说明 n
是奇数。res = res * a;
n
是奇数,则将当前的底数 a
乘到结果 res
中。这步实现了快速幂算法中的乘法操作。a = a * a;
a
自乘,即 a
变成 a^2
。这一步相当于将底数翻倍,对应于指数减半的操作。n >>= 1;
n
右移一位,即 n
变成 n / 2
。这一步实现了快速幂算法中的指数减半操作。循环回到第2步,直到 n
变为0,退出循环。
return res;
res
,即底数 a
的指数 n
次幂的值。这段代码利用了快速幂算法的思想,通过迭代和位运算的方式,将指数的计算复杂度从 ( O(n) ) 优化到 ( O(log n) ),显著提高了计算效率。
给你三个整数 \(a,b,p\),求 \(a^b \bmod p\)。
输入只有一行三个整数,分别代表 \(a,b,p\)。
输出一行一个字符串 a^b mod p=s
,其中 \(a,b,p\) 分别为题目给定的值, \(s\) 为运算结果。
2 10 9
2^10 mod 9=7
样例解释
\(2^{10} = 1024\),\(1024 \bmod 9 = 7\)。
数据规模与约定
对于 \(100\%\) 的数据,保证 \(0\le a,b < 2^{31}\),\(a+b>0\),\(2 \leq p \lt 2^{31}\)。
这题直接套用快速幂算法的模板,只需要每一步我们加上取模运算即可,注意数据需要开long long类型
#include<iostream>
using namespace std;
long long quickpow(long long a, long long n,long long p)
{
long long res = 1;
while (n) {
if (n & 1) res = (res * a)%p;
a = (a * a)%p;
n >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
long long a, b, p;
cin >> a >> b >> p;
printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, quickpow(a, b, p));
return 0;
}