Note:本文中,欧氏空间中的向量的分量用上标表示。
[Def 1.1] \(M\) 是一个第二可数的Hausdorff空间。若对任意 \(x\in M\) ,都存在 \(x\) 的一个邻域 \(U\) 同胚于 \(\R^m\) 的一个开集,则称 \(M\) 是一个 \(m\) 维流形(或拓扑流形)。记同胚映射为 \(\varphi_U:U\to\varphi_U(U)\) ,则 \((U,\varphi_U)\) 称为 \(M\) 的一个坐标卡;对于 \(y\in U\) ,记 \(u=\varphi_U(y)\) ,则 \(u^i\ (1\leqslant i\leqslant m)\) 称为 \(y\) 的局部坐标。
对于函数 \(f:U\to\R\ \ \ (U\in\R^m)\) ,如果 \(f\) 的所有 \(r\) 阶偏导数都存在,则称 \(f\) 是 \(r\) 次可微的或 \(C^r\) 的。如果有任意阶偏导数,则称 \(f\) 是光滑的或者 \(C^\infin\) 的。如果 \(f\) 在 \(U\) 的每一点的附近都可以用收敛的幂级数表示,则称 \(f\) 是解析的或者 \(C^\omega\) 的。
考虑两个坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和 \((V,\varphi_V)\) ,若 \(U\cap V\neq\varnothing\) ,则
是同胚,其逆为 \(g=\varphi_U\circ\varphi_V^{-1}\)。如果 \(f,g\) 的每一个分量函数 \(f^i,g^i\) 都是 \(C^r\) 的,则称这两个坐标卡是 \(C^r\) 相容的。(当然,若 \(U\cap V=\varnothing\) ,也认为两者相容)
[Def 1.2] 在 \(m\) 维流形 \(M\) 上给定一族坐标卡 \(\mathscr{A}=\{(U,\varphi_U),(V,\varphi_V),\cdots\}\) ,若
\((1)\) \(\{U,V,\cdots\}\) 是 \(M\) 的开覆盖 \((2)\) \(\mathscr{A}\) 中任意两个坐标卡是 \(C^r\) 相容的
\((3)\) \(\mathscr{A}\) 是极大的,即 \(M\) 的任意一个与 \(\mathscr{A}\) 中每个坐标卡都相容的坐标卡都在 \(\mathscr{A}\) 中
则称 \(\mathscr{A}\) 是 \(M\) 的一个 \(C^r-\)微分结构,给定了此结构的 \(M\) 称为一个 \(C^r-\)微分流形。 \(C^\infin-\)微分流形又称光滑流形, \(C^\omega-\)微分流形又称解析流形。必要时默认所谓流形是光滑流形。
[Eg 1.1] \(m\) 维射影空间 \(P^m\)
在 \(\R^{m+1}-\{0\}\) 上定义等价关系:对于 \(x,y\in\R^{m+1}-\{0\}\) ,若 \(\exist\ \alpha\in\R\) 使得 \(x=\alpha y\) ,则 \(x\sim y\) 。商空间 \(P^m=(\R^{m+1}-\{0\})/\sim\) 称为射影空间,数组 \((x^i)_{1\leqslant i\leqslant m+1}\) 称为 \([x]\in P^m\) 的齐次坐标。坐标卡:
其中的 \(1\leqslant i\leqslant m+1,\ _i\xi_j={x^j}/{x^i}\) 。由于 \(\{U_i\}\) 构成开覆盖,且有坐标变换 \(_j\xi_k=_i\xi_k/_i\xi_j,_j\xi_i=1/_i\xi_j\) ,那么给定了 \(\{(U_i,\varphi_i)\}\) 的 \(P^m\) 是光滑流形。
[Def 1.3] 光滑流形 \(M\) 上的连续函数 \(f:M\to\R\) 。若对 \(p\in M\) 和包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ,函数 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 在点 \(\varphi_U(p)\) 处是 \(C^\infin\) 的,则称 \(f\) 在点 \(p\) 处是光滑的。处处光滑的函数 \(f\) 称为 \(M\) 上的光滑函数。 \(M\) 上全体光滑函数的集合记作 \(C^\infin(M)\) 。
光滑流形 \(M\) 到 \(N\) 的连续函数 \(f:M\to N\) 。若对 \(p\in M\) ,以及包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和包含 \(f(p)\) 的坐标卡 \((V,\psi_V)\) ,映射 \(\psi_V\circ f\circ\varphi_U^{-1}\) 的每一个分量函数在点 \(\varphi_U(p)\) 处是 \(C^\infin\) 的,则称 \(f\) 在点 \(p\) 处是光滑的。处处光滑的映射 \(f\) 称为 \(M\) 到 \(N\) 的光滑映射。
对于同胚 \(f:M\to N\) ,若 \(f,f^{-1}\) 都是光滑映射,则称 \(f\) 为可微同胚。
Note:光滑性和坐标卡的选取是无关的。具体而言,对于坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和 \((V,\varphi_V)\) ,由于坐标变换是光滑的,而且 \(f\circ\varphi_V^{-1}=(f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\varphi_V^{-1})\) ,那么 \(f\circ\varphi_V^{-1}\) 和 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 的光滑性等价。
[Def 1.4] 光滑流形 \(M,N\) 。拓扑积空间 \(M\times N\) 上由坐标卡族 \(\{U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times \psi_\beta\}\) 给出的光滑流形结构称为 \(M\) 和 \(N\) 的积流形。投射 \(\pi_1:M\times N\to M,\pi_2:M\times N\to N\) 显然是光滑映射。
类比切线、切平面的概念,微分流形可以引进切空间和余切空间的概念,以达到在每一点附近用线性空间近似流形的目的。下面从余切空间入手,再通过对偶构造切空间。
补充光滑函数的定义。开集 \(V\sub M\) 和函数 \(f:V\to\R\) 。若任意与 \(V\) 相交的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ,函数 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 是 \(\varphi_U(U\cap V)\) 上的光滑函数,则称 \(f\) 是定义在 \(V\) 上的光滑函数。
固定一点 \(p\in M\) 。定义在 \(p\) 的邻域上的光滑函数构成集合 \(C^\infin_p\) ,其上有加法和乘法(例如,对于\(f:U\to\R\) 和\(g:V\to\R\) ,函数 \(f+g:U\cap V\to\R\) 满足 \(\forall p\in U\cap V,(f+g)(p)=f(p)+g(p)\))。定义 \(C^\infin_p\) 上的等价关系:若存在 \(p\) 的邻域 \(H\) 使得 \(f|_H=g|_H\) ,则 \(f\sim g\) 。令商空间 \(\mathscr{F}_p=C^\infin_p/\sim\) ,其中的等价类 \([f]\) 称为 \(p\) 点处的 \(C^\infin-\)函数芽,那么 \(\mathscr{F}_p\) 是一个无穷维实线性空间。
光滑函数 \(\gamma:(-1,1)\to M\) 使得 \(\gamma(0)=p\) 称作经过点 \(p\) 的参数曲线,其构成的集合记作 \(\varGamma_p\)。对于\(\gamma\in\varGamma_p\) 和 \([f]\in\mathscr{F}_p\) ,定义配合:
对于固定的 \(\gamma\) ,\(\left<\left<\gamma,\cdot\right>\right>:\mathscr{F}_p\to\R\) 是线性函数。定义 \(\mathscr{H}_p=\{[f]\in\mathscr{F}_p \big|\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=0,\forall\gamma\in\varGamma_p\}\) 。
[Theo 2.1] \([f]\in\mathscr{F}_p\) ,对于包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ,令 \(F=f\circ\varphi_U^{-1}\) ,则 \([f]\in\mathscr{H}_p\) 当且仅当
Proof:记参数曲线的坐标表示为 \(x^i(t)=(\varphi_U\circ\gamma(t))^i,\ 1\leqslant i\leqslant m\) ,则
\[\begin{align*} \left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}((f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\gamma(t)))\right|_{t=0} \\ & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(x^1(t),\cdots,x^m(t))\right|_{t=0} \\ & =\sum_{i=1}^{m}{\left.\frac{\part F}{\part x^i}\right|_{\varphi_U(p)}\cdot\left.\frac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|_{t=0}} \end{align*} \]由于 \(\gamma\) 选取的任意性,\(\left.\cfrac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|_{t=0}\) 可取到任何实数值,因而要求所有的 \(\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|_{\varphi_U(p)}=0\) 。
[Def 2.1] 商空间 \(\mathscr{F}_p/\mathscr{H}_p\) 称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的余切空间,记作 \(T^*_p\) 。函数芽 \([f]\in\mathscr{F}_p\) 的等价类记作 \((\text{d}f)_p\) ,称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的余切矢量。它是一个无穷维实线性空间。
对于在 \(p\) 的邻域上的光滑函数 \(f\) , \((\text{d}f)_p\) 也称作 \(f\) 在 \(p\) 点的微分。若 \((\text{d}f)_p=0\) 则称 \(p\) 是 \(f\) 的临界点。
[Theo 2.2] \(f^1,\cdots,f^s\in C^\infin_p\) ,而 \(F(f^1(p),\cdots,f^s(p))\) 是点 \(x=(f^1(p),\cdots,f^s(p))\) 附近的光滑函数,则 \(f=F(f^1,\cdots,f^s)\) 是定义在 \(p\) 的邻域上的光滑函数,且
Proof: \(f\) 的定义域是 \(p\) 的有限个邻域的交。由于 \(F\) 光滑,则 \(f\) 光滑。记 \(a_k=\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|_x\) ,则对于任意的 \(\gamma\in\varGamma_p\) ,有:
\[\begin{align*} \left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(f^1\circ\gamma(t),\cdots,f^s\circ\gamma(t))\right|_{t=0} \\ & =\sum_{k=1}^{s}{a_k\cdot\left.\frac{\text{d}(f^k\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}} \\ & =\sum_{k=1}^{s}{a_k\left<\left<\gamma,[f^k]\right>\right>}=\left<\left< \gamma,\sum_{k=1}^{s}{a_k[f^k]}\right>\right> \end{align*} \]因此 \([f]-\sum{a_k[f^k]}\in\mathscr{H}_p\) ,即 \((\text{d}f)_p=\sum{a_k(\text{d}f^k)_p}\) 。
推论 1:对于 \(f,g\in C^\infin_p,\alpha\in\R\) :
\[\begin{align*} & \text{d}(f+g)_p=(\text{d}f)_p+(\text{d}g)_p \\ & \text{d}(\alpha f)_p=\alpha\cdot(\text{d}f)_p \\ & \text{d}(fg)_p=f(p)\cdot(\text{d}g)_p+g(p)\cdot(\text{d}f)_p \end{align*} \]推论 2:\(\dim T^*_p=m\)
Proof:取包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ,则对于 \(q\in U\) ,局部坐标 \(u^i(q)=(\varphi_U(q))^i\) 是光滑函数。下证 \(\{(\text{d}u^i)_p\}_{1\leqslant i\leqslant m}\) 是 \(T^*_p\) 的基。由 [Theo 2.2] 可知 \(\{(\text{d}u^i)_p\}\) 张成 \(T^*_p\) ,下证其线性无关。
若一组 \(\alpha_i\in\R\) 使得 \(\sum{\alpha_i(\text{d}u^i)_p}=0\) ,即 \(\sum{\alpha_i[u^i]}\in\mathscr{H}_p\) ,则 \(\forall\gamma\in\varGamma_p\) 有:\[\left<\left<\gamma,\sum_{i=1}^{m}{\alpha_i[u^i]}\right>\right> =\sum_{i=1}^{m}{\alpha_i\cdot\left.\frac{\text{d}(u^i\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}}=0 \]取 \(\lambda_k\in\varGamma_p\) 使得 \(u^i\circ\lambda_k(t)=u^i(p)+\delta_k^i t\) (其中 \(\delta_k^i\) 是Kronecker记号),则
\[\left.\frac{\text{d}(u^i\circ\lambda_k(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}=\delta_k^i=\left\{ \begin{align*} 1\ \ \ i=k \\ 0\ \ \ i\neq k \end{align*} \right. \]令 \(\gamma=\lambda_k\) 带入可得 \(\alpha_k=0\) ,因此 \(\{(\text{d}u^i)_p\}\) 线性无关。
反过来考虑 \(\varGamma_p\) ,定义其上的等价关系:对于 \(\gamma,\gamma'\in\varGamma_p\) ,若 \(\forall f\in C^\infin_p\) 都有 \(\left<\left<\gamma,[f]\right>\right>=\left<\left<\gamma',[f]\right>\right>\) ,则 \(\gamma\sim\gamma'\) 。对于等价类 \([\gamma]\) 和 \((\text{d}f)_p\),定义
可见配合 \(<[\gamma],(\text{d}f)_p>\) 是双线性的。用局部坐标表示 \(\gamma\) 使 \(\varphi_U\circ\gamma(t)=(u^1(t),\cdots,u^m(t))\),可得
这个值由 \(\xi^i\) 完全决定。取 \(\gamma\) 使 \(u^i(t)=(\varphi_U(p))^i+\xi^i t\) ,可见 \(\xi^i\) 可取到任意数值,那么全体 \(\left<[\gamma],\cdot\right>\) 就表示了全体 \(T^*_p\) 上的线性函数,继而构成 \(T^*_p\) 的对偶空间, \(\{[\lambda_k]\}_{1\leqslant k \leqslant m}\) 是 \(\{(\text{d}u^i)_p\}_{1\leqslant i \leqslant m}\) 的对偶基。
[Def 2.2] 商空间 \(\varGamma_p/\sim\) 称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的切空间,记作 \(T_p\) 。其元素称为点 \(p\) 处的切矢量。
从局部坐标的角度看,切向量有更简单的几何意义描述。对于分别由 \(u^i,u'^i\) 给出的曲线 \(\gamma,\gamma'\) ,\(\gamma\sim\gamma'\) 的充要条件是相应的 \(\xi^i=\xi'^i\) ,即在点 \(p\) 处有相同的“切线”。
切矢量 \([\lambda_k]\) 还有另一重含义。注意到
那么 \([\lambda_k]\) 之于 \((\text{d}f)_p\) 就相当于偏微分算子 \(\left.\cfrac{\part}{\part u^k}\right|_p\) ,因此 \([\gamma]\) 可以表示为
[Def 2.3] 对于 \(X\in T_p,f\in C^\infin_p\) ,记 \(Xf=<X,(\text{d}f)_p>\) ,称作函数 \(f\) 沿切矢量 \(X\) 的方向导数。
以下定理说明了方向导数是 \(C^\infin_p\) 上的线性算子。
[Theo 2.3] 方向导数的性质。对于 \(X\in T_p,f,g\in C^\infin_p,\alpha,\beta\in\R\) :
\((1)\) \(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\) \((2)\) \(X(fg)=f(p)\cdot Xg+g(p)\cdot Xf\)
考虑坐标变换对这两组基的影响。对于两组局部坐标 \(u^i,{u^*}^i\) ,相应的 \(\xi,\alpha\) 满足关系
其中 \(\cfrac{\part {u^*}^i}{\part u^i}=\cfrac{\part (\varphi_{U^*}\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^i}\) 是坐标变换的Jacobi矩阵。满足前者变换规律的矢量称作反变矢量,满足后者变换规律的矢量称作协变矢量。
光滑流形之间的映射诱导出切空间和余切空间上的光滑映射。对于光滑映射 \(F:M\to N\) ,记点 \(p\in M\) 的像是点 \(q=F(p)\) 。余切空间上的映射 \(F^*:T^*_q\to T^*_p\) 定义作
这显然是线性映射。其共轭映射 \(F_*:T_p\to T_q\) 使得
[Def 2.4] 映射 \(F^*\) 称为映射 \(F\) 的微分,映射 \(F_*\) 称为由 \(F\) 诱导的切映射。
这两个映射在局部坐标表示下有共性。对于点 \(p\) 附近的局部坐标 \(u^i\) 和点 \(q\) 附近的局部坐标 \(v^\alpha\) ,函数 \(F\) 可以“按分量地”表示为 \(v^\alpha=F^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\) ,也就是 \(F^\alpha=v^\alpha\circ F\)。此时 \(F^*,F_*\) 作用在相应的基上,可以得到
因此 \(F^*,F_*\) 在相应的基下的矩阵就是Jacobi矩阵 \(\left.\cfrac{\part F^\alpha}{\part u^i}\right|_p\) 。
首先研究光滑流形诱导的切映射的一些性质。光滑映射 \(F:M\to N\) ,在点 \(p\) 处诱导了切映射 \(F_*:T_p\to T_q\) ,这里 \(q=F(p)\) 。重要的是,切映射 \(F_*\) 在 \(p\) 点的性质决定了 \(F\) 在 \(p\) 点的邻域上的性质。在微积分学中,这就是反函数定理:
[Theo 3.1] (反函数定理) \(\R^n\) 的开子集 \(W\) 上定义光滑映射 \(f:W\to \R^n\) 。如果在一点 \(x_0\in W\) 处, \(f\) 的Jacobi行列式 \(\det\left.\cfrac{\part f^i}{\part x^j}\right|_{x_0}\neq 0\) ,则存在 \(x_0\) 的邻域 \(U\sub W\) ,使得 \(V=f(U)\) 是开集,且 \(f\) 在 \(V\) 上有光滑的反函数 \(g=f^{-1}:V\to U\) 。
根据之前的讨论,Jacobi矩阵就是切映射 \(f_*\) ,其行列式非零意味着 \(f_*\) 是切空间的同构。由于反函数的存在,这里的 \(f\) 限制在 \(U\) 上就是 \(U\) 到 \(V\) 的可微同胚。因此借助局部坐标,此定理可以推广到光滑流形上(此推广的证明是对光滑映射 \(F=\psi_V\circ f \circ \varphi_U^{-1}\) 使用 [Theo 3.1] ):
[Theo 3.2] 两个 \(n\) 维流形 \(M,N\) 以及光滑映射 \(f:M\to N\) 。若点 \(p\in M\) 处切映射 \(f_*:T_p\to T_{f(p)}\) 是同构,则存在 \(p\) 的邻域 \(U\) ,使得 \(V=f(U)\) 是开集,且 \(f|_U:U\to V\) 是可微同胚。
这里的流形 \(M,N\) 有相同的维数,故“ \(f_*\) 在该点是同构”等价于“ \(f_*\) 在该点是单射”。推广到不同维数的流形上,对于流形 \(M,N\) ,其维数 \(m=\dim M\leqslant n=\dim N\) ,当 \(f_*\) 在点 \(p\in M\) 处是单射时(这意味着该点处的局部坐标下 \(f\) 的Jacobi矩阵的秩等于 \(m\) ,称矩阵在该点是非退化的),定理推广为:
[Theo 3.3] \(m\) 维流形 \(M\) 和 \(n\) 维流形 \(N\) ,\(m<n\) ,以及光滑映射 \(f:M\to N\) 。若点 \(p\in M\) 处切映射 \(f_*\) 是单射,则存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) 和 \(q=f(p)\) 处的局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ,使得 \(V=f(U)\) ,且
Proof:设 \(f\) 在局部坐标下表示为 \(v^\alpha=f^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\) 。不妨 \(u^i(p)=0,v^\alpha(q)=0\) 。令
\[I_{n-m}=\{(w^{m+1},\cdots,w^n)\in\R^{n-m} \big|\forall m+1\leqslant\gamma\leqslant n, |w^\gamma|<\delta \}\ , \ \ \ \delta\in\R^+ \]选取适当小的 \(U\) 和 \(\delta\) ,可以定义光滑映射 \(\widetilde{f}:U\times I_{n-m}\to V\) 使得
\[\left\{ \begin{align*} & \widetilde{f}^i(u^1,\cdots,u^m,w^{m+1},\cdots,w^n)=f^i(u^1,\cdots,u^m) \\ & \widetilde{f}^\gamma(u^1,\cdots,u^m,w^{m+1},\cdots,w^n) =w^\gamma+f^\gamma(u^1,\cdots,u^m) \end{align*} \right. \\ 1\leqslant i\leqslant m\ ,\ m+1\leqslant \gamma\leqslant n \]显然 \(\widetilde{f}\) 的Jacobi矩阵在原点处是非退化的,由 [Theo 3.2] 不妨(即忽略定义域的问题)假设 \(\widetilde{f}\) 是可微同胚,则可以将 \(\{u^i,w^\gamma\}\) 与 \(\{v^\alpha\}\) 视作等同,那么在此局部坐标系下 \(\widetilde{f}\) 是恒同映射,则 \(f|_U=\widetilde{f}|_{U\times\{0\}}\) 满足题设。
[Def 3.1] 光滑流形 \(M,N\) 。若有光滑流形 \(\varphi:M\to N\) 满足
\((1)\) \(\varphi\) 是单射 \((2)\) 任意点 \(p\in M\) ,该点的切映射 \(\varphi_*:T_p\to T_{\varphi(p)}\) 是单射
则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的嵌入子流形(或简单地称作光滑子流形);若只满足 \((2)\) ,则称 \(\varphi\) 是浸入, \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的浸入子流形。
浸入在局部上是单的,而大范围上不尽然;两种子流形的区别具体而言,在于像 \(\varphi(M)\) 是否有自交点。
[Eg 3.1] 开子流形
\(U\) 是 \(N\) 的开子集,将 \(N\) 的光滑结构限制在 \(U\) 上,就得到 \(U\) 的光滑结构(其维数与 \(N\) 相同)。则 \((\text{id}_U,U)\) 是 \(N\) 的嵌入子流形,称为 \(N\) 的开子流形。
[Eg 3.2] 闭子流形
\(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 若满足: \((1)\) 像 \(\varphi(M)\) 是 \(N\) 的闭子集; \((2)\) 对每一点 \(q\in\varphi(M)\) ,存在一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ,使得 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) (其中 \(m=\dim M,n=\dim N\) )定义的;则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的闭子流形。
例如,单位球面 \(S^{n}\sub\R^{n+1}\) 和恒同映射 \(\text{id}:S^n\to\R^{n+1}\) 给出 \(\R^{n+1}\) 的闭子流形。
[Eg 3.3] 对比如下两个 \(\R^2\) 的子流形 \((F,\R)\) 和 \((G,\R)\) :
前者是浸入子流形(因为其在原点自交无限次),而后者是嵌入子流形(曲线的两端无限接近原点)。
[Eg 3.4] 环面 \(T^2\) 可以视作单位矩形 \(I^2\) 将两组对边粘合得到的商空间。取实数 \(a,b\) ,考虑映射 \(\varphi:\R\to T^2\) 使得 \(\varphi(t)=(\lfloor at\rfloor,\lfloor bt \rfloor)\) ,若 \(a:b\) 是无理数,则 \(\varphi(\R)\) 是稠密的嵌入子流形;若是有理数,则是浸入子流形。
嵌入子流形 \((\varphi,M)\) ,在像 \(\varphi(M)\) 上可以给出一个微分结构使 \(\varphi:M\to\varphi(M)\) 是可微同胚,这给出 \(\varphi(M)\) 的一个拓扑;另一方面 \(\varphi(M)\) 作为 \(N\) 的子集,从 \(N\) 继承了拓扑。两者通常来说不一致,且前者细于后者。两者相同的情况引出以下定义:
[Def 3.2] \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 。若 \(\varphi:M\to\varphi(M)\) 是 \(M\) 和作为 \(N\) 的子空间的 \(\varphi(M)\) 之间的同胚,则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的正则子流形,且称 \(\varphi\) 是 \(M\) 在 \(N\) 中的正则嵌入。
[Theo 3.4] \(n\) 维光滑流形 \(N\) 的 \(m\) 维光滑子流形 \((\varphi,M)\) ,其是正则子流形的充要条件是:其是 \(N\) 的开子流形的闭子流形。
Proof:\(\Leftarrow\) :由于不需要闭集的条件,不妨假设那个“开子流形”就是 \(N\) ,即只考虑 \(N\) 的闭子流形。任意一点 \(p\in M\) ,根据闭子流形的定义,在 \(N\) 中 \(q=\varphi(p)\) 有一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ,使得 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的。由 \(\varphi\) 的连续性,存在 \(p\) 的局部坐标系 \((U;u^i)\) 使得 \(\varphi(U)\sub V\) 。不妨假设 \(p,q\) 是局部坐标系下的原点,并假设 \(V=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta\}\) ,那么 \(\varphi(U)\sub\varphi(M)\cap V\) , \(\varphi\) 在 \(U\) 上局部地表示为
\[\left\{ \begin{align*} & v^i=\varphi^i(u^1,\cdots,u^m)\ , && 1\leqslant i\leqslant m \\ & v^\gamma=0\ , && m+1\leqslant \gamma\leqslant n \end{align*} \right. \]那么Jacobi行列式 \(\det\left.\cfrac{\part(\varphi^1,\cdots,\varphi^m)}{\part(u^1,\cdots,u^m)}\right|_{u^i=0}\neq 0\) ,根据 [Theo 3.1] 存在 \(0<\delta'<\delta\),函数 \((\varphi^i)\) (视作 \(m\) 维向量场)有反函数 \((\psi^i)\) 使得 \(|v^i|<\delta'\) 时 \(u^i=\psi^i(v^1,\cdots,v^m)\) 。因此在 \(V'=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta'\}\) 满足 \(\varphi^{-1}(\varphi(M)\cap V')\sub U\) 。由于 \(U\) 可以取得任意小,因此在 \(q\) 点 \(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\) 是连续的。由于 \(q\) 的任意性, 整个 \(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\) 是连续的,因此 \(\varphi\) 是同胚。
\(\Rightarrow\) :由于 \(\varphi\) 是同胚,任意一点 \(p\in M\) 的任意邻域 \(U\) ,存在 \(q=\varphi(p)\) 的邻域 \(V\) 使 \(\varphi(U)=\varphi(M)\cap V\) 。根据 [Theo 3.3] ,存在 \(p,q\) 的局部坐标系 \((U',u^i),(V',v^\alpha)\) 使得 \(\varphi(U')\sub V'\) ,且 \(\varphi\) 在 \(U\) 上局部地表示为\(\varphi(u^1,\cdots,u^m)=(u^1,\cdots,u^m,0,\cdots,0)\) 。不妨 \(U'\sub U\) ,并取 \(V'\sub V\) 使得 \(\varphi(U')=\varphi(M)\cap V'\) ,那么 \(\varphi(M)\cap V'\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的,正则子流形的条件 \((2)\) 已然满足。
对于每一个 \(q\) 记这个 \(V'\) 为 \(V_q\) ,令 \(W=\bigcup{V_p}\) ,则 \(W\) 是 \(N\) 的开子流形,只需说明 \(\varphi(M)\) 是 \(W\) 的闭集,这只需证 \(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\) 。任意 \(s\in \overline{\varphi(M)}\cap W\) ,存在一个 \(V_q\ni s\) 。在局部坐标下 \(\varphi(M)\cap V_q\) 之于 \(V_q\) 相当于 \(m\) 维子平面 \(\R^m\times\{0\}^{n-m}\) 之于 \(\R^n\) ,则 \(\varphi(M)\cap V_q\) 是 \(V_q\) 的闭集,那么 \(s\in \varphi(M)\cap V_q\) 。因此 \(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\) 。这就证明了 \((\varphi,M)\) 是开子流形 \(W\) 的闭子流形。
推论: \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 是正则子流形的充要条件是: 对每一点 \(q\in\varphi(M)\) ,存在一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ,使得 \(q\) 是原点,且 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的。
[Theo 3.5] \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) ,若 \(M\) 是紧致的,则其是正则子流形。
Proof:紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚[1],因此其是正则子流形。
由于欧式空间有良好的性质,希望将流形嵌入到欧式空间中进行研究。这需要使用以下的一系列重要引理,它们可以看做Urysohn引理在流形上的推广:
[Lem 3.1] \(D_1,D_2\) 是 \(\R^m\) 的同心开球,且 \(\overline{D_1}\sub D_2\) ,则存在光滑函数 \(f:\R^m\to[0,1]\) ,使得 \(f(D_1)=\{1\},\) \(f(\R^m - D_2)=\{0\}\) 。
Proof:不妨设 \(D_1,D_2\) 的球心为原点,半径为 \(r_1,r_2\) ,令
\[g(t)=\left\{ \begin{align*} & \exp{\frac{1}{(t-a^2)(t-b^2)}} \ , && t\in(a^2,b^2) \\ & 0 \ , && t\notin(a^2,b^2) \end{align*} \right. \\ F(t)=\int_{t}^{+\infin}{g(s)\text{d}s}\Big/\int_{-\infin}^{+\infin}{g(s)\text{d}s} \]则 \(0\leqslant F(t)\leqslant 1\) , 当 \(t\leqslant a^2\) 时 \(F(t)=1\) ,当 \(t\geqslant b^2\) 时 \(F(t)=0\) (如此构造 \(F\) 主要是为了光滑性)。令 \(f:\R^m\to[0,1]\) 为 \(f(x^1,\cdots,x^m)=F((x^1)^2+\cdots+(x^m)^2)\) ,则它满足要求。
[Lem 3.2] \(U,V\) 是 \(\R^m\) 的非空开集,使得 \(\overline V\) 是紧致的,而且 \(\overline V\sub U\),则存在光滑函数 \(f:\R^m\to[0,1]\) ,使得 \(f(V)=\{1\},f(\R^m - U)=\{0\}\) 。
Proof:存在有限多组开球 \(\{D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\}\) 使得 \(\overline{D^{(1)}_i}\sub D^{(2)}_i\sub U\) 且 \(\{D^{(1)}_i\}\) 覆盖 \(\overline{V}\) ,对每一对 \(D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\) 利用 [Lem 3.1] 给出光滑函数 \(f_i\) ,那么 \(f=1-\prod{(1-f_i)}\) 满足要求。
[Lem 3.3] \((U,\varphi_U)\) 是光滑流形 \(M\) 的坐标卡,\(V\) 是 \(M\) 的非空开集,使得 \(\overline V\) 是紧致的,而且 \(\overline V\sub U\),则存在光滑函数 \(f:M\to[0,1]\) ,使得 \(f(V)=\{1\},f(M - U)=\{0\}\) 。
Proof:流形 \(M\) 是局部紧致的[2],则存在开集 \(U_1\) 使得 \(\overline{V}\sub U_1\sub\overline{U_1}\sub U\) 。对一对开集 \(\varphi_U{V},\varphi_U{U_1}\) 使用 [Lem 3.2] 给出光滑函数 \(h\) ,那么以下函数 \(f\) 满足要求:
\[f(p)=\left\{ \begin{align*} & h\circ\varphi_U(p) \ , && p\in U \\ & 0 \ , && p\notin U \end{align*} \right. \\ \]
由此,可以将紧致流形嵌入欧式空间[3]:
[Theo 3.6] \(M\) 是 \(m\) 维紧致的光滑流形,则存在一个正整数 \(n\) 和光滑映射 \(\varphi:M\to\R^n\) ,使得 \((\varphi,M)\) 是 \(\R^n\) 的正则子流形。
Proof:存在 \(M\) 的有限开覆盖 \(\{V_j\}_{1\leqslant j\leqslant r}\) ,使得每一个 \(\overline{V_j}\) 是紧致的,且被包含在一个局部坐标系 \((U_j;u_j^i)\) 中。对于每一个 \(\overline{V_j}\) 存在开集 \(W_j\) 使得 \(\overline{V_j}\sub W_j\sub\overline{W_j}\sub U_j\) 。对每一对 \(V_j,W_j\) 使用 [Lem 3.3] 给出光滑函数 \(f_i\) ,然后在 \(M\) 上定义 \(n=r(m+1)\) 个光滑函数:
\[\left\{ \begin{align*} & x^0_j=f_j \\ & x^i_j(p)=\left\{\begin{aligned} & u^i_j(p)\cdot f_i(p)\ , && p\in U_i \\ & 0\ , && p\notin U_i \end{aligned}\right. \end{align*} \right. \\ \]将 \((x^i_j)_{0\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant r}\) 视作 \(\R^n\) 中的一个点,那么上式给出了映射 \(\varphi:M\to\R^n\) 。
下证 \(\varphi\) 是正则嵌入,根据 [Theo 3.5] 只需证明 \(\varphi\) 是单射且是浸入。单射:若 \(p,q\in M\) 使 \(\varphi(p)=\varphi(q)\) ,则 \(x^i_j(p)=x^i_j(q)\) ;由于 \(\{V_i\}\) 是覆盖,存在一个 \(V_k\ni p\) ,由于 \(f_k(q)=x^0_k(q)=x^0_k(p)=f_k(p)=1\) ,且每一个 \(i\) 都有 \(u^i_k(q)=u^i_k(p)\) ,则 \(q\in U_k\) ,且在局部坐标系 \((U_k;u_k^i)\) 中 \(p,q\) 有相同的坐标,则 \(p=q\) 。浸入:\(\forall p\in M\) ,存在一个 \(V_k\ni p\) ,在其中 \(f_k(p)=1\) ,则 \(x^i_k\big|_{V_k}=u^i_k\) ,因此 \(\left.\cfrac{\part(x^1_k,\cdots,x^m_k)}{\part(u^1_k,\cdots,u^m_k)}\right|_p=1\) ,因此切映射 \(\varphi_*\) 是单射,\(\varphi\) 是嵌入。
[Def 4.1] 映射 \(X\) 将光滑流形 \(M\) 的一点 \(p\) 映为切矢量 \(X_p\in T_p\) ,则称 \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的切矢量场。每一个切矢量 \(X_p\) 可视作函数 \(X_p:C^{\infin}\to\R\) ;对于 \(f\in C^{\infin}\) ,令 \((Xf)(p)=X_pf\) ,则 \(Xf\) 是 \(M\) 上的函数。若任意 \(f\in C^{\infin}\) ,\(Xf\) 都是光滑函数,则称 \(X\) 是 \(M\) 上的光滑切矢量场。
由此可见,光滑切矢量场可以视作算子 \(X:C^{\infin}\to C^{\infin}\) 。[Theo 2.3] 可以照搬过来,得到算子 \(X\) 的性质: \((1)\) \(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\) \((2)\) \(X(fg)=f\cdot Xg+g\cdot Xf\)
下面研究光滑切矢量场 \(X\) 的局部性质。首先对于 \(M\) 的非空开集 \(U\) ,限制 \(X|_U\) 仍是光滑切矢量场。把 \(U\) 取成局部坐标系 \((U;u^i)\) ,就得到光滑切矢量场的局部表示:
[Theo 4.1] \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的切矢量场,则 \(X\) 是光滑切矢量场 \(\Leftrightarrow\) 对于任意点 \(p\in M\) ,存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) ,使得 \(X\) 限制在 \(U\) 上可以表示为
其中 \(\xi^i\) 是定义在 \(U\) 上的光滑函数。(这是比较显然的,需要注意到 \(\xi^i=X|_U u^i\))
Note:可以看出光滑切矢量场局部地表示为切矢量的“光滑”组合。
[Def 4.2] 对于 \(M\) 上的光滑切矢量场 \(X,Y\) ,其Poisson括号积定义为 \([X,Y]=XY-YX\) 。
\([X,Y]\) 也是光滑切矢量场,即 \([X,Y](f+g)=[X,Y]f+[X,Y]g\) ,\([X,Y](fg)=f[X,Y]g+g[X,Y]f\) 。
[Theo 4.2] 对于 \(M\) 上的光滑切矢量场 \(X,Y,Z\) 和 \(f,g\in C^\infin(M)\) ,以下成立(根据定义验证即可)
现在可以用局部坐标表示 \([X,Y]\) 。对于局部坐标系 \((U;u^i)\) , \(X,Y\) 可以表示成
注意到 \(\left[\cfrac{\part}{\part u^i},\cfrac{\part}{\part u^j}\right]=0\) ,那么
[Def 4.3] \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的光滑切矢量场,若 \(p\in M\) 使得 \(X_p=0\) ,则称 \(p\) 是 \(X\) 的一个奇点。
矢量场在奇点附近的性质是极其复杂的,与流形的拓扑性质密切相关。然而在非奇点处,光滑切矢量场的性质是十分简单的,描述如下:
[Theo 4.3] \(X\) 是 \(M\) 上的光滑切矢量场,若点 \(p\in M\) 使得 \(X_p\neq0\) ,则存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((W;w^i)\) ,使得
Proof:根据 [Theo 4.1] 存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) 使得
\[X|_U=\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part u^i}} \]由于 \(X_p\neq0\) ,不妨 \(\xi^1(p)\neq0\) ,且根据连续性可以假设其在 \(p\) 的充分小的邻域上非零。根据常微分方程的理论,在 \(p\) 的充分小的邻域 \(W\) 上以下常微分方程组有解(将 \(u^1\) 视作自变量,其余 \(u^i\) 视作未知函数)
\[\frac{\text{d}u^i}{\text{d}u^1}=\frac{\xi^i(u^1,\cdots,u^m)}{\xi^1(u^1,\cdots,u^m)} \]假设解为 \(u^i=\varphi^i(u^1)\) ,这个解是光滑的,并且初值 \(v^i=\varphi^i(0)\) 可以在 \(W\) 上任取,且每一个解对初值组的依赖是光滑的。记 \(v^1=u^1\) ,那么局部坐标系 \((W;v^i)\) 和 \((U;u^i)\) 限制在 \(W\) 上的部分之间存在光滑的坐标变换(变换是由 \(\varphi^i\) 表述的)。在局部坐标系 \((W;v^i)\) 下
\[X|_U=\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part u^i}} =\xi^1\sum_{i=1}^{m}{\frac{\part u^i}{\part v^1}\frac{\part}{\part u^i}}=\xi^1\frac{\part}{\part v^1} \]第二个等号利用了 \(u^1=v^1\) 和 \(\xi^i=\xi^1\cfrac{\part u^i}{\part u^1}\) ,第三个等号是坐标变换。于是只需再令
\[w^1=\int_{0}^{1}{\frac{\text{d}v^1}{\xi^1}}\ ,\ \ \ \ w^i=v^i \]就得到满足题意的局部坐标系。
以上定理说明光滑切矢量场在非奇点处“局部地”表现为切空间的一个自然基矢量。那么能否用多个光滑切矢量场组成一个局部坐标系的切空间的基呢?具体来说,如果 \(M\) 上有 \(h\) 个光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ,它们在点 \(p\) 的一个邻域 \(U\) 上处处线性无关(即每一点 \(q\in U\) 都有 \(X_1(q),\cdots,X_h(q)\) 线性无关),那么是否存在 \(p\) 的一个局部坐标系 \((W;w^i)\) 使得 \(X_i|_W=\cfrac{\part}{\part w^i}\) 呢?由于 \(\left[\cfrac{\part}{\part w^i},\cfrac{\part}{\part w^j}\right]=0\) ,这要求 \([X_i,X_j]=0\) 。事实上,这是充要条件(证明过程类比下面的 [Theo 4.4])。
以上的要求比较强,通常考虑下面的类似的问题。
[Def 4.4] 映射 \(L^h\) 将光滑流形 \(M\) 的一点 \(p\) 映为切空间 \(T_p\) 的 \(h\) 维子空间 \(L^h(p)\) 。如果对于每一点 \(p\) ,在 \(p\) 的某个邻域 \(U\) 上存在 \(h\) 个处处线性无关的光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ,使得任意 \(q\in U\) ,切子空间 \(L^h(q)\) 都是由矢量 \(X_1(q),\cdots,X_h(q)\) 张成的,则称 \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布,记作 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) 。
两组张成 \(L^h\) 的光滑切矢量场之间存在着以光滑函数为系数的非退化线性变换。具体而言,对于另一组光滑切矢量场 \(L^h|_U=\{Y_1,\cdots,Y_h\}\) ,存在由光滑函数构成的 \(h\) 阶方阵 \(a=(a^\beta_\alpha)\) ,使得每一点处 \(\det a\neq0\) ,且
问题是,是否存在局部坐标系 \((W;w^i)\) 使得
当这一条件成立时,对于 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) ,存在变换
在此情况下,有
这里利用了Poisson括号积的表示和上述变换,其中的参数( \(a^{-1}\) 表示 \(a\) 的逆矩阵)
这就是说 \([X_\alpha,X_\beta]\) 可以表示为 \(X_1,\cdots,X_h\) 的线性组合。
[Def 4.5] \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布。若任意使 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) 的一组光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ,其中的每一对 \([X_\alpha,X_\beta]\) 都可以表示为 \(X_1,\cdots,X_h\) 的线性组合,则称 \(L^h\) 满足Frobenius条件。
[Theo 4.4] (Frobenius定理) \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布。 \(L^h\) 在 \(U\) 上满足Frobenius条件 \(\Leftrightarrow\) 对于任意 \(p\in U\) ,存在 \(p\) 的局部坐标系 \((W;w^i)\) ,\(W\sub U\),使得
Proof:\(\Leftarrow\) 已经说明。 \(\Rightarrow\) :对维数 \(h\) 归纳。\(h=1\) 时即是 [Theo 4.3] 。若 \(h-1\) 维成立, \(h\) 维时,对于满足Frobenius条件的 \(L^h=\{X_1,\cdots,X_h\}\) ,这个条件意味着[4]
\[[X_\alpha,X_\beta]\equiv 0\ (\text{mod}\ X_\gamma)\ \ \ \ 1\leqslant \alpha,\beta\leqslant h \]由 [Theo 4.3] 存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((y^1,\cdots,y^m)\) 使得 \(X_h=\cfrac{\part}{\part y^h}\) 。
以下设 \(1\leqslant \lambda,\mu,\nu\leqslant h-1\) ,并定义\[X'_\lambda=X_\lambda-(X_\lambda y^h)X_h \]显然有 \(X'_\lambda y^h=0,X_h y^h=1\) 。处处线性无关的组 \(X'_1,\cdots,X'_{h-1},X_h\) 仍然张成 \(L^h\) ,则由Frobenius条件
\[[X'_\lambda,X'_\mu]\equiv a_{\lambda\mu}X_h \ (\text{mod}\ X'_\nu) \]将上式两边同时作用于 \(y^h\) ,得 \(a_{\lambda\mu}=0\) ,于是 \(L'^{h-1}=\{X'_1,\cdots,X'_{h-1}\}\) 满足Frobenius条件。因此由归纳假设存在 \(p\) 的局部坐标系 \((z^1,\cdots,z^m)\) 使得
\[L'^{h-1}=\left\{\frac{\part}{\part z^1},\cdots,\frac{\part}{\part z^{h-1}}\right\} \]两个组之间存在光滑的非退化线性变换,则 \(\cfrac{\part}{\part z^\lambda}y^h=0\) ,因此 \(X_h\) 与它们线性无关。故
\[L^h=\left\{\frac{\part}{\part z^1},\cdots,\frac{\part}{\part z^{h-1}},X_h\right\} \]根据Frobenius条件,可设
\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]\equiv b_\lambda X_h\ \left(\text{mod}\ \frac{\part}{\part z^\mu}\right) \]将上式两边同时作用于 \(y^h\) ,得 \(b_{\lambda}=0\) ,所以
\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]=\sum_{\mu=1}^{h-1}{C_{\lambda\mu}\frac{\part}{\part z^\mu}} \]在 \((z^1,\cdots,z^m)\) 下 \(X_h\) 可表示为 \(X_h=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\) ,则
\[\left[\frac{\part}{\part z^\lambda},X_h\right]=\sum_{i=1}^{m}{\frac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}\frac{\part}{\part z^i}} \]两相对比,得到 \(1\leqslant \lambda\leqslant h-1,h\leqslant i\leqslant m\) 时 \(\cfrac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}=0\) ,因此 \(\xi^i\) 是只与 \(z^h,\cdots,z^m\) 有关的函数。于是可以令 \(X'_h=\displaystyle\sum_{i=h}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\) ,仍然有 \(L^h=\left\{\cfrac{\part}{\part z^1},\cdots,\cfrac{\part}{\part z^{h-1}},X'_h\right\}\) 。由 [Theo 4.3] 存在从 \((z^h,\cdots,z^m)\) 到 \((w^h,\cdots,w^m)\) 的坐标变换使得 \(X'_h=\cfrac{\part}{\part w^h}\) ,再令 \(w^\lambda=v^\lambda\ \ (1\leqslant \lambda\leqslant h-1)\) ,则
\[L^h=\left\{\frac{\part}{\part w^1},\cdots,\frac{\part}{\part w^h}\right\} \]
Note:此定理还有一个基于外微分叙述的对偶形式,见第三章 [Theo 2.4] 。